基礎数学例

$y = \sqrt{2 y + 45} - 5$

ステップ 1

根号が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\sqrt{2 y + 45} - 5 = y$

ステップ 2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$\sqrt{2 y + 45} = y + 5$

ステップ 3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 y + 45}}^{2} = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 y + 45}$ を ${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

${({(2 y + 45)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 y + 45)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 y + 45)}^{1} = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4.2.1.2

簡約します。

$2 y + 45 = {(y + 5)}^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

${(y + 5)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

${(y + 5)}^{2}$ を $(y + 5) (y + 5)$ に書き換えます。

$2 y + 45 = (y + 5) (y + 5)$

ステップ 4.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 5) (y + 5)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 y + 45 = y (y + 5) + 5 (y + 5)$

ステップ 4.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 y + 45 = y \cdot y + y \cdot 5 + 5 (y + 5)$

ステップ 4.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 y + 45 = y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5$

ステップ 4.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$2 y + 45 = y^{2} + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5$

ステップ 4.3.1.3.1.2

$5$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y + 45 = y^{2} + 5 \cdot y + 5 y + 5 \cdot 5$

ステップ 4.3.1.3.1.3

$5$ に $5$ をかけます。

$2 y + 45 = y^{2} + 5 y + 5 y + 25$

ステップ 4.3.1.3.2

$5 y$ と $5 y$ をたし算します。

$2 y + 45 = y^{2} + 10 y + 25$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$y^{2} + 10 y + 25 = 2 y + 45$

ステップ 5.2

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $2 y$ を引きます。

$y^{2} + 10 y + 25 - 2 y = 45$

ステップ 5.2.2

$10 y$ から $2 y$ を引きます。

$y^{2} + 8 y + 25 = 45$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $45$ を引きます。

$y^{2} + 8 y + 25 - 45 = 0$

ステップ 5.4

$25$ から $45$ を引きます。

$y^{2} + 8 y - 20 = 0$

ステップ 5.5

たすき掛けを利用して $y^{2} + 8 y - 20$ を因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 20$ で、その和が $8$ です。

$- 2, 10$

ステップ 5.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y - 2) (y + 10) = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 2 = 0$

$y + 10 = 0$

ステップ 5.7

$y - 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$y - 2$ が $0$ に等しいとします。

$y - 2 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2$

ステップ 5.8

$y + 10$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 5.8.1

$y + 10$ が $0$ に等しいとします。

$y + 10 = 0$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$y = - 10$

ステップ 5.9

最終解は $(y - 2) (y + 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 2, - 10$

ステップ 6

$y = \sqrt{2 y + 45} - 5$ が真にならない解を除外します。

$y = 2$

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